最近数学界再起风云，某民科大神重现江湖，宣称自己严格证明了1=2，而且毫无逻辑漏洞。此言一出，立即引发学界震动，数学江湖又将迎来血雨腥风。
接下来，我们一起来欣赏大神的表演。
我们首先回顾之前介绍过的调和级数
Σ(1/n)=1/1+1/2+1/3+…+1/n
很容易证明调和级数是发散的，也就是说当n→∞时，Σ(1/n)→+∞。证明调和级数发散的方法很多，这里介绍两种经典证法。
求证：1/1+1/2+1/3+…=+∞
证明一：1/1+1/2+1/3+…
=1/1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+…
＞1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+…
=1+1/2+1/2+1/2+…=+∞，证毕！
调和级数
证明二：引用经典不等式
1/(n+1)＜ln(1+1/n)＜1/n
这个经典不等式的证明从略，我在之前的文章中介绍过，大家可以去翻看。
1/n＞ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n]
1/1+1/2+1/3+…+1/n
＞ln(2/1)+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln{(2/1)×(3/2)×(4/3)×…×[(n+1)/n]}
=ln[(n+1)/1]=ln(n+1)
很明显，lim[ln(n+1)]=+∞，n→∞，所以
1/1+1/2+1/3+…=+∞，证毕！
这个经典不等式很重要，大家务必重点记忆。利用这个不等式，我们还可以进一步证明欧拉常数γ的存在性。
γ=lim[(1/1+1/2+1/3+…+1/n)-ln(n)]，n→∞
γ=0.577215664…
欧拉常数γ
接下来我们来讨论一个和调和级数很相似的级数Σ[(-1)^(n+1)/n]
Σ[(-1)^(n+1)/n]
=1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)^(n+1)/n
可以证明这个级数收敛于ln2，证明也不复杂。
求证：1-1/2+1/3-1/4+…=ln2
证明：根据麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f′(0)x+[f′′(0)/2!]x^2+…
麦克劳林公式
对于f(x)=ln(1+x)
f(0)=ln(1+0)=ln1=0；
f′(x)=ln′(1+x)=1/(1+x)
f′(0)=1/(1+0)=1/1=1；
f′′(x)=[1/(1+x)]′=-1/(1+x)^2
f′′(0)=-1/(1+0)^2=-1/1=-1；
f′′′(x)=[-1/(1+x)^2]′=2!/(1+x)^3
f′′′(0)=2!/(1+0)^3=2!/1=2!；
…………
ln(1+x)=0+1×x-(1/2!)x^2+(2!/3!)x^3-(3!/4!)x^4+…
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…
令x=1
ln(1+1)=1-1^2/2+1^3/3-1^4/4+…
ln2=1-1/2+1/3-1/4+…，证毕！
特别强调，以上理论在目前的数学体系下是被严格证明的，结论是毫无争议的，希望评论区不要对以上结论进行任何质疑。接下来才是本文的重点！
好了，理论部分我们就铺垫到这里，接下来我们正式开始欣赏大神的精彩表演，见证奇迹的时刻。
求证：1=2
证明：ln2=1-1/2+1/3-1/4+…
=(1+1/3+1/5+1/7+…)-(1/2+1/4+1/6+1/8…)
=(1+1/3+1/5+…)-[(1/2+1/6+1/10+…)+(1/4+1/8+1/12+…)]
=(1+1/3+1/5+…)-(1/2+1/6+1/10+…)-(1/4+1/8+1/12+…)
=(1-1/2-1/4)+(1/3-1/6-1/8)+(1/5-1/10-1/12)+…
=(1/2-1/4)+(1/6-1/8)+(1/10-1/12)+…
=(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6…)/2=ln2/2
ln2=ln2/2
显然ln2≠0，等式两边同除以ln2
1=1/2，2=1
1=2，证毕！
看到这里，我属实是被大神天马行空的思维方式惊呆了，居然还可以这样骚操作。表面看上去这个证明非常丝滑，好像没有逻辑漏洞。但如果你了解绝对收敛数列和条件收敛数列，就可以轻松地推翻以上论证，揭露大神的谎言。
事情的真相只有一个！所谓大神只不过是利用了著名的黎曼重排定理，玩了一个障眼法而已。
黎曼重排定理：条件收敛数列可以通过重排项的顺序收敛到任何给定的实数。
我们先解释一下绝对收敛数列和条件收敛数列。
①若数列{an}收敛，数列{∣an∣}也收敛，则称数列{an}为绝对收敛数列。
例如：an=(-1/2)^n
数列{an}是一个首项a1=-1/2，公比q=-1/2的等比数列；
∣an∣=∣(-1/2)^n∣=(1/2)^n
数列{∣an∣}是一个首项a1=1/2，公比q=1/2的等比数列；
我们知道对于一个等比数列，只要公比q的绝对值小于1，则这个数列收敛。所以数列{an}和数列{∣an∣}都收敛，数列{(-1/2)^n}是绝对收敛数列。
②若数列{an}收敛，但数列{∣an∣}发散，则称数列{an}为条件收敛数列。
例如我们前面讨论的数列
an=(-1)^(n+1)/n
∣an∣=∣(-1)^(n+1)/n∣=1/n
数列{an}={(-1)^(n+1)/n}收敛于ln2
但数列{∣an∣}={1/n}却是发散的
所以数列{(-1)^(n+1)/n}是条件发散数列。
根据黎曼重排定理，条件收敛数列可以通过重排项的顺序收敛到任何给定的实数，当然可以通过重排收敛到ln/2，从而达到欺骗众人的目的。
数学体系发展到今天，根基已经非常牢固，要想引发第四次数学危机，撼动当下的数学大厦，绝非易事。也希望各位数学爱好者能够严谨治学，不要剑走偏锋。